Логарифм отрицательного числа
Логарифм отрицательного числа - это многомерная функция
Здесь натуральный логарифм записывается как log.
Пояснение
Каждое отрицательное число является комплексным числом. Для описания отрицательных чисел можно использовать полярные координаты (r, θ), поскольку они лежат в комплексной плоскости на вещественной оси x, где θ = 0, ±π, ±2π, ... является.
Определение логарифма можно распространить на отрицательные и комплексные аргументы. Логарифм - это обратная экспоненциальная функция. Для комплексного числа w
ew = zс обратной функцией w = log z
Мы говорим о логарифме потому, что для z существует бесконечно много чисел w, которые выступают в роли логарифмов. Они отличаются друг от друга на целое число, кратное 2πi. Это объясняется тем, что e2nπ i = 1. Запишем z в виде
с абсолютной величиной r и аргументом φ, тогда каждое из чисел
является логарифмом z. Логарифм для комплексных чисел z является полиномиальной функцией
Значение логарифма для n = 0 называется главным значением логарифма. Аргумент z в интервале [0, 2π) называется главным значением. В качестве основного значения также выбирается интервал (−π, π].
Пример 1
Отрицательные числа являются частным случаем комплексных чисел. Например, z = −1 - комплексное число на единичном круге радиуса r = 1 и полукруге, повернутом на угол φp = π. Поэтому логарифм от −1 имеет главное значение
log (−1) = log (1) + πi = πi.